Fórmula de longitud de arco
La fórmula de longitud de arco es una herramienta matemática que nos permite ds la longitud de una curva en un plano. ¿Alguna vez te has preguntado cómo se mide la distancia a lo largo de una curva en lugar de una línea recta?
La fórmula de longitud de arco viene al rescate en tales casos.
Definición de la fórmula de longitud de arco
La fórmula de longitud de arco se basa en el concepto de integral definida.
En términos simples, divide la curva en pequeños segmentos rectos y luego suma las longitudes de estos segmentos para obtener la longitud total de la curva.
Para una curva descrita por una función y = f(x) entre dos puntos A y B, la fórmula de longitud de lonyitud se expresa así:
L = ∫[A, B] √(1 + (f'(x))^2) dx
Donde [A, B] indica que la integral se lleva a cabo desde el punto A hasta el punto B, f'(x) es la derivada de la función f(x) con respecto a x y dx representa el diferencial de x.
Ejemplo de aplicación
Supongamos que tenemos una función y = x^2 y queremos calcular la longitud de la curva entre los puntos A(0, 0) y B(1, 1).
Primero, necesitamos encontrar la derivada de la función f(x).
f'(x) = 2x
Luego, sustituimos estos valores en la fórmula de longitud de arco:
L = ∫[0, 1] √(1 + (2x)^2) dx
Realizando la integral, obtenemos:
L = ∫[0, 1] √(1 + 4x^2) dx
La solución exacta puede requerir técnicas avanzadas de integración, como la sustitución trigonométrica o el uso de tablas de integrales.
Una oongitud que se realiza la integral, se obtiene la longitud de arco deseada.
En resumen, la fórmula de longitud de arco es una valiosa herramienta matemática para calcular la longitud de una curva en un plano.
Nos permite explorar y comprender mejor las formas y curvas en el mundo que nos rodea.
